ИСМ-06-2:
13. б) Основы метода конечных элементов. Типы конечных элементов. Атрибуты конечных элементов.Идеализация
Под идеализацией понимают процесс перехода от исходной физической системы к математической модели. Этот процесс является наиболее важным шагом при решении технической или инженерной задачи. Ключевым пунктом в этом процессе является понятие модели, которую можно определить как символическое устройство, построенное для моделирования и предсказания поведения системы. Математическое моделирование, или идеализация, есть процесс, с помощью которого инженер переходит от реальной физической системы к математической модели системы. Данный процесс называется идеализацией, поскольку математическая модель необходимо абстрагируется от физической реальности.
В качестве примера реальной физической системы рассмотрим инженерную конструкцию в виде плоской пластины, нагруженную поперечными силами. Математические модели данной системы, которые инженер может использовать для анализа напряжений в пластине, могут быть следующими:
1 Модель очень тонкой пластины, основанная на теории изгиба мембран.
2 Модель тонкой пластины, основанная на классической теории Кирхгоффа.
3 Модель достаточно толстой пластины, основанная, например, на теории Миндлина-Рейсснера.
4 Модель очень толстой пластины, основанная на трехмерной теории упругости.
Очевидно, инженер должен обладать достаточными теоретическими знаниями, чтобы правильно выбрать соответствующую математическую модель системы (конструкции), которую ему необходимо исследовать.
Классификация конечных элементов, используемых в механике
1. Простейшие конструкционные элементы. К простейшим структурным элементам относятся элементы типа стержень, балка, труба, брус, панель, работающая на сдвиг (Рис. 3). Уравнения, описывающие данные элементы, выводятся из теоретических положений сопротивления материалов, т.е. из упрощенных механических формулировок. Исторически первыми стали использоваться именно эти типы конечных элементов.
Рис. 3. Простейшие конструкционные элементы.
. Континуальные элементы. Континуальные элементы представляют собой конечные объемы или площади сплошной среды (континуума). Например, к континуальным элементам относятся пластины, оболочки, осесимметричные элементы, трехмерные твердотельные элементы (Рис. 4). Уравнения, описывающие данный тип конечных элементов, получаются из общих соотношений механики сплошной среды и, в частности, теории упругости.
Рис. 4. Континуальные конечные элементы.
3. Специальные элементы. Специальные элементы обладают свойствами как конструкционных, так и континуальных элементов. Они выводятся из уравнений механики сплошной среды, но включают в себя некоторые особенности непосредственно связанные с физическими особенностями решаемых задач. В качестве примера можно привести следующие специальные элементы: элемент с трещиной для задач механики разрушения; многослойная панель; бесконечные и полубесконечные элементы; контактные и штрафные элементы; абсолютно твердотельные элементы (Рис. 5).
Рис.5. Специальные конечные элементы.
4. Макроэлементы. Макроэлементы представляют собой более сложный тип конечных элементов. Как правило, они получаются путем сборки из более простых конструкционных элементов. Число таких элементов, входящих в макроэлемент, как правило, невелико (Рис. 6).
Рис.6. Макроэлементы.
5. Подструктуры. Подструктуры можно определить как макроэлементы с явно выраженными структурными особенностями или функциями. Как правило, они получаются путем разделения полной конструкции на функциональные компоненты. Например, крылья и фюзеляж самолета, пролет и тросы подвесного моста. Заметим, что различия между понятиями полной конструкции, подструктур и макроэлементов не всегда очевидны и четко определены. Поэтому часто используется понятие суперэлемента как обобщенного названия для всех типов макроэлементов или подструктур, представляющих собой комбинацию простейших конструкционных элементов.
Преимущества и недостатки дискретных методов расчета. Этапы и последовательность ввода исходных данных при решении инженерных задач.
Основные шаги МКЭ показаны на рис. 1. Схематично их можно назвать следующим образом:
· Идеализация
· Дискретизация
· Решение.
Рис. . Основные шаги численного моделирования
Последовательность процедур алгоритма МКЭ может быть представлена в следующем виде:
1. Дискретизация рассматриваемой области, т.е. замена континуальной среды совокупностью КЭ заданной формы, соединенных между собой в узлах конечным числом связей.
Этот этап, несмотря на видимую простоту, имеет важное значение, хотя он и не обусловлен строгими теоретическими рекомендациями и во многом определяется интуитивно. Обычно при построении конечно-элементной модели руководствуются предварительными представлениями о характере ожидаемого результата, и в местах высоких градиентов искомых величин сетку конечных элементов сгущают.
2. Выбор вариационного принципа. Выбор вариационного принципа определяет основные неизвестные функции, через которые впоследствии устанавливаются остальные неизвестные. В задачах механики деформируемого твердого тела используются следующие вариационные принципы: принцип Лагранжа, в соответствии с которым варьируются перемещения; принцип Кастильяно (варьируются напряжения), принцип Рейсснера (варьируются перемещения и напряжения), принцип Ху-Вашицы (варьируются перемещения, напряжения и деформации). В практических расчетах чаще всего используется принцип Лагранжа.
3. Выбор аппроксимирующих функций. При кусочно-непрерывной аппроксимации предполагается, что перемещения внутри элемента могут быть выражены через перемещения в его узлах. Эта связь описывается при помощи так называемых функций формы, которые аппроксимируют действительное поле перемещений внутри элемента. От выбора аппроксимирующих функций в значительной степени зависит точность решения. Эти функции должны удовлетворять следующим критериям:
- критерию полноты: при стремлении размеров элемента к нулю выбранные функции формы должны обеспечить любые простые значения.
- критерию совместимости: функции формы должны обеспечивать непрерывность перемещений и ее производных до (n-1)-го порядка на границе между элементами (где n-порядок старшей производной в функционале энергии). Если выбранный тип элемента обеспечивает непрерывность поля перемещений, то по классификации его относят к классу С0 – элементов, а если обеспечивается и непрерывность деформации, то к классу С1 – элементов.
При выполнении этих критериев с увеличением числа конечных элементов, моделирующих конструкцию, результаты расчета монотонно сходятся к точному решению. Нарушение критерия совместимости в ряде случаев приводит к достоверному результату, но сходимость в этих случаях не будет монотонной.
4. Реализация вариационного принципа. На этом этапе осуществляется вычисление матриц жесткостей элементов и построение глобальной матрицы системы алгебраических уравнений и вектора узловых сил. Глобальная матрица жесткости может быть получена несколькими методами:
- методом непосредственного сложения жесткостей;
- методом конгруэнтного преобразования;
- при помощи конечно-разностных операторов.
5. Учет граничных условий. Полученная на основе указанных методов матрица жесткости является вырожденной, поскольку в соответствии с уравнениями равновесия заданной системы часть уравнений (для пространственных систем – шесть, а для плоских — три) окажутся взаимно зависимыми. Корректировка этой матрицы при учете граничных условий приводит к невырожденной системе линейных алгебраических уравнений.
6. Решение системы алгебраических уравнений. Для решения системы алгебраических уравнений используются стандартные программы, имеющиеся в математическом обеспечении ЭВМ, и специально подготовленные и лучшим образом учитывающие симметрию и структуру матрицы жесткости системы – редкозаполненность или ленточность.
7. Определение деформаций и напряжений. После определения узловых перемещений в соответствии с известными соотношениями теории упругости могут быть определены деформации и напряжения.
Источники ошибки и аппроксимация
Как показано на рис., каждый шаг численного моделирования вносит свою ошибку. В инженерной практике погрешность перехода от физической модели к математической является одной из наиболее существенной. Однако, ошибки этого шага достаточно трудны и дорогостоящи для оценки, поскольку, верификация модели требует доступа и сравнения с экспериментальными данными, объем которых часто недостаточен или же они вообще отсутствуют в случае новых инженерных продуктов.
Следующая по важности идет ошибка дискретизации. Даже, если ошибка этапа решения дискретной модели игнорируется, полученное численное решение, в общем, является лишь аппроксимацией, или приближением, точного решения математической модели. Тем самым мы получаем ошибку, или погрешность, дискретизации. Изучением свойств и поведения этой ошибки занимается раздел прикладной математики, называемый теорией аппроксимаций. Интуитивно можно ожидать, что точность решения дискретной модели должна улучшаться при увеличении числа степеней свободы модели и, следовательно, ошибка дискретизации стремится к нулю при стремлении числа степеней свободы к бесконечности. Данное утверждение описывает так называемое требование сходимости приближенного решения. Однако доказательство этого утверждения не всегда возможно и является одной из ключевых целей теории аппроксимаций.
Схема организации расчета по МКЭ
Типы конечных элементов. Линейные конечные элементы. Плоские конечные элементы. Объемные конечные элементы.
основные типы конечных элементов и их свойства, называемые атрибутами элементов
Рис. 2. Основные типы конечных элементов для одно-, дву- и трехмерных задач механики.
1. Собственная размерность. Конечные элементы могут описываться одной, двумя или тремя пространственными координатами в зависимости от размерности задачи, для решения которой они предназначены. Соответствующее число внутренних или локальных координат называется собственной размерностью элемента. В динамическом анализе время рассматривается как дополнительная размерность. Отметим, что в расчетах используются также специальные элементы с нулевой размерностью, такие как, точечные массы или сосредоточенные упругие элементы (пружины).
2. Узловые точки. Каждый элемент описывается множеством характерных точек, называемых узловыми точками или узлами для краткости. Узлы предназначены для описания геометрии элемента и для задания физических степеней свободы (числа неизвестных функций). Узлы обычно находятся в угловых или крайних точках элемента, но могут быть также расположены между угловыми узлами и внутри элемента. Данное различие связано с порядком аппроксимации, который обеспечивает данный конечный элемент. Элементы, имеющие только угловые узлы, называются линейными и обеспечивают линейную интерполяцию геометрии и функций. Элементы, имеющие дополнительные узлы на своих границах между угловыми точками, могут обеспечивать квадратичную или даже кубичную интерполяцию (Рис. 2). В первом случае такие элементы называются квадратичными. Отметим также, что существуют элементы, имеющие внутренние узлы. Теоретически такие элементы обеспечивают более точное описание геометрии тела и искомых функций, однако широкого распространения данный тип элементов не получил. При наличии современных автоматических генераторов конечно-элементных сеток часто бывает проще и удобнее разбить конструкцию на большое число линейных элементов простой формы, чем использовать элементы высокого порядка, требующие для построения сетки значительной работы вручную. Элементы, не имеющие внутренних узлов, относятся к так называемому серендипову семейству.
3. Геометрия элемента. Геометрия элемента определяется расположением узловых точек. Большинство элементов, используемых в расчетах, имеют достаточно простую геометрическую форму. Например, в одномерном случае элементы обычно представляют собой прямолинейные отрезки или сегменты кривых линий; в двумерном случае элементы имеют трехстороннюю или четырехстороннюю форму; в трехмерных задачах наиболее распространены такие геометрические фигуры, как тетраэдры, призмы и гексаэдры (Рис. 2).
4. Степени свободы. Степени свободы определяют физическое состояние элемента, т.е. физическое поле, которое описывает данный элемент. Благодаря общим степеням свободы в соседних элементах осуществляется сборка модели и формирование глобальной системы конечно-элементных уравнений. В качестве степеней свободы могут фигурировать как узловые значения неизвестной функции, так и ее производные по пространственным координатам в узлах. В первом случае элементы относятся к типу лагранжевых элементов; во втором случае – типу эрмитовых элементов. Например, в простейшей задаче о растяжении стержня неизвестной функцией является продольное перемещение стержня. Соответственно в качестве степеней свободы выступают узловые значения данной функции и, следовательно, конечный элемент относится к лагранжевому типу. Наоборот, в задаче об изгибе стержня неизвестной функцией является поперечное перемещение центральной оси стержня, а в качестве степеней свободы используются как узловые значения самой функции, так и ее производной по продольной координате. Физический смысл этой производной – угол поворота поперечного сечения стержня. Таким образом, конечный элемент, применяемый в расчетах стержня на изгиб, относится к типу эрмитовых элементов. Заметим также, что данные обозначения происходят от названия полиномов Лагранжа и Эрмита, широко используемых в прикладной математике для интерполяции функций по узловым значениям.
5. Узловые силы. Система узловых сил полностью соответствует степеням свободы элемента и выражается с помощью глобального вектора узловых сил.
6. Определяющие соотношения. Для конечных элементов, используемых в механических расчетах, определяющее соотношение задает поведение материала, из которого изготовлена конструкция. Например, в качестве такого соотношения во многих случаях используется обобщенный закон Гука, связывающий тензор деформаций и тензор напряжений в точке. Для линейного упругого стержневого элемента достаточно задать один модуль Юнга Е и один коэффициент температурного расширения.
7. Свойства сечения. К свойствам сечения относятся площади и моменты инерции одномерных и двумерных конечных элементов, таких как балки, стержни, пластины. В эту группу также входит толщина пластин и оболочек. При построении конечного элемента свойства сечений считаются заданными и входят в результирующую матрицу жесткости элемента.
© ism-06-2.ru